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新初一数学上册《有理数》知识汇总掌握它开学领先一步!


来源:乐橙国际 | 时间:2018-11-24

  暑假开始了,大家的预习热情也变得逐渐高涨,小升初刚刚结束的同学们,恭喜你们即将成为初中生!颜老师在这里给各位同学分享的是数学第一章《有理数》部分的知识点~

  (1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。

  (2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。负数比0小。

  (1) 为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5也可以写作+3、+1.5。

  (2) 对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。

  例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。

  正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?

  我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。

  用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

  注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

  (2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

  整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

  注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。

  如果用字母表示数,则a0表明a是正数;a0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。

  数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:

  数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。

  (3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。

  (1) 画一条直线(一般画成水平的直线) 在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。

  (4) 选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……

  (2) 确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;

  3.数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。

  4.利用数轴比较有理数的大小:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。

  1.相反数的定义(1) 相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。

  (2) 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。

  2.相反数的性质:任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。

  5.多重符号的化简(1) 在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。

  (2) 在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。

  1.绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“丨a丨”

  2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

  正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

  (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

  1.有理数加减法统一成加法的意义对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

  这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。

  2.有理数加减混合运算的方法(1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

  由于a×1/a(a≠0) ,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是1/a。若a、b互为倒数,则ab=1。

  (1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。

  (1) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

  (2) 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。

  先乘除,后加减,如果有括号,就先算括号里面的。同级运算中,要按照从左到右的顺序。

  正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。

  在生产实践和实际生活中,不仅存在着大量的准确数,同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。

  出现近似数的原因有两点:一是有时候不能得到完全准确的数,如太阳的半径大约是696 000千米;二是有时也没有必要弄得完全准确,如买10千克大米,有时可能多一点,有时也可能少一点。

  四舍五入后的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。

  方法技巧1:在只含有乘、除法的算式中,可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时,结果为负;“负”号有偶数个时,结果为正。

  方法技巧2:分数、小数乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积和符号。含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内。在进行混合运算时,要注意两点:一是运算顺序,二是运算符号。

  方法技巧3:灵活运用有理数的运算法则、运算律,适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。✎本文编辑:颜老师